Службу проходит в Заполярье — курсант инженерно-саперной роты 276-го саперного батальона. После обучения в инженерно-саперной роте получил звание сержанта. В ноябре 1940 года старшие начальники, изучив личное дело Андрея Ивановича, направили его в типографию армейской газеты 14-й армии «Часовой Севера». Первая должность на новом месте — старший наборщик. Уже в мае Андрей Бескоровайный стал техник-лейтенантом, начальником типографии.

Великую Отечественную войну Андрей Иванович встретил в Мурманске. Там дислоцировались редакция и типография «Часового Севера». Затем был начальником издательства газеты 19-й армии, сражавшейся на кандалакшском направлении.

В октябре 1944-го, когда войска Карельского фронта освободили Заполярье и Карелию, 19-я армия получила приказ Верховного Главнокомандующего отправится на запад в распоряжение командующего 2-м Белорусским фронтом. Войска фронта освобождали Польшу, стремительно продвигались к Берлину.

В мае 1945 года 19-я армия передислоцировалась в район Легницы, где на базе 2-го Белорусского фронта была образована Северная группа войск.

Войну Андрей Иванович закончил после разгрома японских милитаристов на Забайкальском фронте в должности заместителя начальника издательства и типографии газеты «На боевом посту».

После войны создавал полиграфическую базу газет «За честь Родины» в Бакинском военном округе и «Тревога» в Московском округе противовоздушной обороны.

С 1956 года — заместитель начальника, с 1957 года по 1986 год — начальник издательства и типографии главной военной газеты СССР «Красной звезды».

Автор книг воспоминаний «Строки — тоже оружие» (1976), «В небе Севера» (1986), «И в сердце каждом отзовётся» (1990).

С 1986 года в отставке, жил в Москве. Скончался 7 марта 2019 года на 101-м году жизни.

Награждён орденами Отечественной войны I степени, Трудового Красного Знамени, тремя Красной Звезды, «За службу Родине в Вооруженных Силах СССР» III степени и многими медалями

Заслуженный работник культуры России, лауреат ряда премий.