В Красной Армии с 1940 года. В 1942 году окончил Сталинградское военное авиационное училище.

На фронтах Великой Отечественной войны с мая 1942 года. Сержант И.И.Бабак принял боевое крещение в качестве лётчика 45-го истребительного авиационного полка 216-й смешанной авиационной дивизии (которые за отличия в боях на Кубани удостоенные звания гвардейских, и преобразованные в 100-й гвардейский истребительный авиаполк и в 9-ю гвардейскую истребительную авиадивизию соответственно), и летом 1942 года, в небе над Моздоком открыл боевой счёт, сбив вражеский "мессершмитт"…

Командир звена 100-го гвардейского истребительного авиаполка (9-я гвардейская истребительная авиадивизия, 8-я воздушная армия, Южный фронт) гвардии младший лейтенант И.И.Бабак отличился в боях при прорыве обороны противника на реке Молочная и освобождении города Мариуполя. К сентябрю 1943 года он сбил лично 18 самолётов противника и 4 - в группе.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 ноября 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками гвардии младшему лейтенанту Ивану Ильичу Бабаку присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1132).

Всего лётчик-истребитель И.И. Бабак за время войны сбил лично 37 фашистских самолётов и 4 - в группе.

В феврале 1945 года старший лейтенант И.И.Бабак назначен командиром 16-го гвардейского истребительного авиаполка, которым ранее командовал А.И. Покрышкин.

Менее чем за месяц до окончания войны, 16 апреля 1945 года, при выполнении боевого задания И.И. Бабак был сбит огнём зенитной артиллерии противника и попал в плен, откуда был освобождён после Победы…

До 1947 года мужественный лётчик-истребитель командовал 32-м гвардейским истребительным авиационным полком. В 1947 году он окончил Высшие офицерские лётно-тактические курсы. С 1949 года капитан И.И.Бабак - в запасе, а затем в отставке. Вернулся к прерванной войной педагогической деятельности и работал учителем в городе Полтаве (Украина). Умер 24 июня 2001 года. Похоронен в Полтаве, на Центральном кладбище.

Награждён орденом Ленина, 2 орденами Красного Знамени, орденами Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды, медалями, в том числе, - как педагог, - медалью "За трудовую доблесть", знаком "Отличник народного образования".

Имя Героя было присвоено пионерским отрядам школы № 28 в городе Полтаве, школ в Алексеевке и в посёлке Южный Багратионовского района Калининградской области.