Родился в семье инженера-кораблестроителя, выпускника Петербургского политехнического института, происходившего из семьи черниговского учителя. Его отец дослужился до старшего инженера Путиловской судостроительной верфи. Мать, врач-педиатр, работала в детских больницах Петербурга-Петрограда.

Из-за красного террора и опасности для жизни в годы революции и Гражданской войны семья вынуждена была уехать из Петрограда на Украину в Киев, где отец работал главным инженером завода «Большевик», а затем «Ленинская кузница». В 1924–1930 годах Бережков учился в немецкой школе Киева. После окончания школы работал электромонтёром на заводе «Большевик» и одновременно учился на вечерних курсах иностранных языков. В течение двух лет прошёл трёхлетний курс немецкого и английского языка.

В 1931 году поступил на вечернее отделение Киевского политехнического института, совмещая учёбу с работой гида «Интуриста», а затем техника в конструкторском бюро завода «Ленинская кузница». В 1934–1935 годах работал гидом в киевском «Интуристе».

В 1938 году окончил Киевский политехнический институт по специальности «инженер-технолог» и был направлен на киевский завод «Арсенал» (завод Наркомата вооружения СССР № 393).

После этого был призван на срочную службу в Тихоокеанский флот. В штабе флота во Владивостоке вёл занятия по иностранным языкам, был замечен руководством и в 1939 году направлен в Москву. Некоторое время работал в качестве переводчика в занятой войсками Красной Армии Западной Украине.

В качестве переводчика закупочной комиссии по приобретению военных кораблей от Наркомата внешней торговли СССР попал в Германию на заводы Густава Круппа. Вскоре получил назначение в наркомат иностранных дел СССР (НКИД), где работал помощником В. М. Молотова, в качестве переводчика принимал участие в подготовке и подписании Пакта Молотова — Риббентропа.

В 1940–1941 годах — первый секретарь советского посольства в Берлине. После начала войны с Германией, в конце июля 1941 года, вернулся в Москву. Работал в центральном аппарате НКИД в ранге советника, был помощником Молотова по советско-американским отношениям. Участвовал в переговорах Черчилля, Идена, а также Гопкинса, Гарримана со Сталиным и другими членами советского руководства. По собственным воспоминаниям, «впервые увидел Сталина в конце сентября 1941 года на позднем обеде в Кремле, устроенном в честь миссии Бивербрука — Гарримана». Пиком переводческой карьеры Бережкова стало участие в Тегеранской конференции в 1943 году.

Во время войны родители Бережкова не эвакуировались из Киева и оставались в оккупации (см. также раздел «Семья» ниже). Бережков ничего не знал об их судьбе. После освобождения Киева в ноябре 1943 он попытался их разыскать, но безуспешно. У органов НКВД возникли подозрения, что его родители эвакуировались вместе с отступающими немецкими войсками на Запад. В связи с этим в начале 1945 года Бережков был уволен из Наркомата иностранных дел, но поскольку неопровержимых доказательств эмиграции его родителей не было, а также благодаря ходатайству Молотова, он остался на ответственной работе.

С января 1945 года Бережков работал в журнале «Война и рабочий класс» (впоследствии популярный журнал «Новое время»), печатался под псевдонимом «Богданов». После смерти Сталина был реабилитирован и возвращён в МИД.

В 1970-е годы возглавлял редакцию журнала «США — экономика, политика, идеология». Вышедшая в 1971 году книга «Тегеран-43», в которой он первым рассказал много неизвестного из истории Тегеранской конференции, сразу же стала бестселлером. В 1980 году о детективных событиях вокруг попытки фашистов похитить на конференции «Большую тройку» был снят советский художественный фильм «Тегеран-43», заимствовавший ряд фактов и название книги Бережкова.

В 1979–1983 годах работал первым секретарём советского посольства в Вашингтоне. Одновременно читал лекции по истории международных отношений.

Работал главным редактором журнала «Новое время», представителем Института США и Канады при советском посольстве в США.

С 1992 года преподавал в Монтерейском институте международных исследований в Калифорнии, США.